##parsed

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│┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┬──┬──┐│@│i.│
││┌──┬─────┬──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐│@:│p:││ │  │
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│└─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┴──┴──┘│ │  │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┴─┴──┘

##explained

(                                                         )@:p:@i.  the first n primes, passed to...
       -@{: {.                    ...                               take "nth prime" elements from the tail of...
               +/                                                   sum the first n primes and...
                  {.                                                take that number of elements from...
                     [: }:                                          all but the last element of...   <----------------<
                                          1 + [: i. 1 + +/          sum first n primes, add 1 (so we have enough      |
                                                                    for case n=1) -- make that many natural numbers   |
                           [: (#:@[ , ])/                           reduce them by turning into lists of binary       |
                                                                    digits and catting, however the rightmost number  |
                                                                    won't get reduced, hence the need for ------------^
([: +/                                                              and sum those digits

#J, 52 bytes

([:+/-@{:{.+/{.([:}:(#:@[,])/)@:(1+[:i.1++/))@:p:@i.

##ungolfed

([: +/ -@{: {. +/ {. ([: }: (#:@[ , ])/)@:(1 + [: i. 1 + +/))@:p:@i.

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#J, 48 bytes

([:+/-@{:{.+/{.[:}:[:(#:@[,])/1+[:i.1++/)@:p:@i.

##parsed

┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┬─┬──┐
│┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┬──┬──┐│@│i.│
││┌──┬─────┬──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐│@:│p:││ │  │
│││[:│┌─┬─┐│┌────────┬──┬────────────────────────────────────────────────────────────────────┐││  │  ││ │  │
│││  ││+│/│││┌─┬─┬──┐│{.│┌─────┬──┬─────────────────────────────────────────────────────────┐│││  │  ││ │  │
│││  │└─┴─┘│││-│@│{:││  ││┌─┬─┐│{.│┌──┬──┬─────────────────────────────────────────────────┐││││  │  ││ │  │
│││  │     ││└─┴─┴──┘│  │││+│/││  ││[:│}:│┌──┬──────────────────┬─────────────────────────┐│││││  │  ││ │  │
│││  │     ││        │  ││└─┴─┘│  ││  │  ││[:│┌──────────────┬─┐│┌─┬─┬───────────────────┐││││││  │  ││ │  │
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│││  │     ││        │  ││     │  ││  │  ││  ││││#:│@│[││ │ ││ │││ │ ││  │  ││1│+│┌─┬─┐│││││││││  │  ││ │  │
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