#Java 8, <s>77</s> <s>93</s> <s>74</s> 71 bytes

<s>

    int n=1111;int m=1;while(x>m++){n=Integer.parseInt((n*n+"").substring(0,4));}

    x->{int n=1111;int m=1;while(x>m++){n=Integer.parseInt((n*n+"").substring(0,4))‌​;}return n;}

    x->{int n=1111;for(;--x>0;){n=Integer.parseInt((n*n+"").substring(0,4));}}
</s>

    x->{long n=1111;for(;--x>0;){n=Long.valueOf((n*n+"").substring(0,4));}}

Each repetition makes `n` the first 4 characters of `n*n`.

[Try Java online][1]!


  [1]: https://www.compilejava.net/